Matematyka - studia II stopnia

II. KWALIFIKACJE ABSOLWENTA

Absolwent powinien posiadać pogłębioną wiedzę z zakresu matematyki i jej zastosowań. Absolwent powinien posiadać umiejętności: konstruowania rozumowań matematycznych, testowania prawdziwości hipotez matematycznych, przedstawiania treści matematycznych w mowie i piśmie; budowania modeli matematycznych niezbędnych w zastosowaniach matematyki; posługiwania się zaawansowanymi narzędziami informatycznymi przy rozwiązywaniu teoretycznych i praktycznych problemów matematycznych oraz samodzielnego poszerzania wiedzy matematycznej w zakresie aktualnych wyników badań.

Absolwent powinien być przygotowany do: samodzielnej pracy w instytucjach wykorzystujących metody matematyczne do przetwarzania i analizy danych; nauczania matematyki w szkołach wszystkich poziomów – po ukończeniu specjalności nauczycielskiej (zgodnie ze standardami kształcenia przygotowującego do wykonywania zawodu nauczyciela) oraz kontynuacji edukacji na studiach trzeciego stopnia (doktoranckich).

III. RAMOWE TREŚCI KSZTAŁCENIA

III.1 GRUPY TREŚCI KSZTAŁCENIA, MINIMALNA LICZBA GODZIN ZAJĘĆ ZORGANIZOWANYCH ORAZ MINIMALNA LICZBA PUNKTÓW ECTS

III.2 SKŁADNIKI TREŚCI KSZTAŁCENIA W GRUPACH, MINIMALNA LICZBA GODZIN ZAJĘĆ ZORGANIZOWANYCH ORAZ MINIMALNA LICZBA PUNKTÓW ECTS

III.3 WYSZCZEGÓLNIENIE TREŚCI I EFEKTÓW KSZTAŁCENIA           

A. GRUPA TREŚCI PODSTAWOWYCH

Kształcenie w zakresie analizy rzeczywistej i zespolonej

Treści kształcenia: Teoria miary i całki. Funkcje mierzalne i ich zbieżność. Całka Lebesgue’a. Miara i całka w produkcie kartezjańskim. Funkcje holomorficzne, twierdzenie całkowe Cauchy'ego i jego konsekwencje. Szeregi potęgowe i szeregi Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych. Funkcje meromorficzne.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: przedstawiania konstrukcji miary i całki Lebesgue’a oraz ich własności; stosowania miary i całki w zagadnieniach teoretycznych i praktycznych, w szczególności w probabilistyce; prezentacji i interpretacji różnic i podobieństw między różniczkowalnością rzeczywistą i zespoloną; stosowania metod analizy zespolonej, w szczególności rozwijalności funkcji w szereg; wykorzystywania residuów do obliczania całek.

Kształcenie w zakresie analizy funkcjonalnej

Treści kształcenia: Przestrzenie Banacha. Operatory i funkcjonały liniowe. Przestrzenie ciągów i przestrzenie funkcyjne. Klasyczne twierdzenia o funkcjonałach i operatorach w przestrzeniach Banacha. Przestrzenie Hilberta, bazy ortonormalne. Szeregi Fouriera, zagadnienie najlepszej aproksymacji, twierdzenie spektralne (bez dowodu). Zastosowania aparatu analizy funkcjonalnej.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: rozumienia i posługiwania się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach; doboru przestrzeni i operatorów odpowiednich dla rozpatrywanych zagadnień.

Kształcenie w zakresie topologii

Treści kształcenia: Przestrzenie topologiczne i przekształcenia ciągłe. Operacje na przestrzeniach topologicznych. Zwartość, spójność. Topologie w przestrzeniach odwzorowań. Homotopia przekształceń, homotopijna równoważność, grupa podstawowa. Klasyfikacja topologiczna rozmaitości wymiaru 1 i 2 (bez dowodu).

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: rozpoznawania struktur topologicznych i ich podstawowych własności w obiektach matematycznych występujących w geometrii i analizie matematycznej – w szczególności w rozmaitościach gładkich i przestrzeniach odwzorowań.

B. GRUPA TREŚCI KIERUNKOWYCH

Kształcenie w zakresie algebry i teorii liczb

Treści kształcenia: Teoria grup, pierścieni i ciał – dyskusja wybranych klas grup, pierścieni i ciał ważnych dla zastosowań. Teoria Galois. Przegląd najważniejszych metod algebraicznych, geometrycznych, analitycznych i probabilistycznych w relacji do klasycznych problemów teorii liczb – rozmieszczenie liczb pierwszych (funkcje dzeta i funkcje L), równania diofantyczne i kongruencje (metoda sum trygonometrycznych, równania nad ciałami skończonymi), liczby algebraiczne i p-adyczne.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: świadomego stosowania metod algebraicznych; stosowania metod algebry, analizy i geometrii w rozwiązywaniu problemów arytmetycznych.

Kształcenie w zakresie logiki i podstaw matematyki

Treści kształcenia: Syntaktyka i semantyka rachunku zdań, system aksjomatyczny rachunku zdań i jego pełność. Syntaktyka i semantyka rachunku predykatów, system aksjomatyczny rachunku predykatów, pojęcie teorii formalnej, dowodu, konsekwencji, spełniania i modelu, pełność systemu rachunku predykatów. Funkcje i relacje rekurencyjne. Własności metalogiczne teorii formalnych – niesprzeczność, zupełność, informacje o rozstrzygalności i nierozstrzygalności.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: zapisywania zdań języka potocznego i języka matematyki w języku rachunku zdań i języku rachunku predykatów; sprawdzania poprawności wnioskowań w budowaniu dowodów formalnych; postrzegania struktury teorii formalnych i rozumienia znaczenia ich własności metamatematycznych; rozróżniania aspektu syntaktycznego i semantycznego; dostrzegania istnienia teorii i problemów rozstrzygalnych i nierozstrzygalnych; definiowania funkcji i relacji rekurencyjnych; stosowania tezy Churcha.

Kształcenie w zakresie analizy matematycznej

Treści kształcenia: Powierzchnie gładkie w przestrzeni euklidesowej. Przestrzeń styczna. Formy różniczkowe, całkowanie form różniczkowych. Twierdzenie Stokesa. Potencjał, pole potencjalne, warunki konieczne i dostateczne na potencjalność pola.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: posługiwania się formami różniczkowymi; obliczania całek krzywoliniowych i powierzchniowych, znajdowania potencjału pola wektorowego oraz stosowania ich w wybranych zagadnieniach z teorii pola występujących w fizyce i technice.

Kształcenie w zakresie równań różniczkowych

Treści kształcenia: Równania różniczkowe zwyczajne – istnienie, jednoznaczność i ciągła zależność rozwiązań. Analityczne i numeryczne rozwiązywanie wybranych typów równań, w tym układów równań liniowych i równań wyższych rzędów. Punkty stacjonarne i ich stabilność. Równania różniczkowe cząstkowe – klasyczne równania fizyki oraz wybrane metody rozwiązywania zagadnień początkowych i brzegowych z nimi związanych.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: analizowania przebiegu oraz znajdowania dokładnych i przybliżonych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych i ich układów; orientowania się w metodach rozwiązywania klasycznych równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego; opisywania prostych procesów fizycznych za pomocą równań różniczkowych; rozwiązywania zagadnień praktycznych w innych dziedzinach – fizyce, chemii, technice, ekonomii; korzystania z komputera w trakcie analizy i rozwiązywania równań różniczkowych.

 Kształcenie w zakresie geometrii i topologii

Treści kształcenia: Elementy geometrii różniczkowej – rozmaitości Riemanna, koneksje, rozmaitości o stałej krzywiźnie. Elementy topologii algebraicznej – teoria homologii i kohomologii singularnych, homologiczne własności rozmaitości, różniczkowe interpretacje niezmienników topologicznych (stopnia przekształcenia).

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: rozpoznawania struktur geometrycznych w teoriach fizycznych; dokonywania zmian układów współrzędnych; obliczania homologii i innych niezmienników algebraicznych nieskomplikowanych przestrzeni i przekształceń.

Kształcenie w zakresie metod stochastycznych i statystyki matematycznej

Treści kształcenia: Wielowymiarowe zmienne losowe i ich przykłady (wielowymiarowy rozkład normalny). Rozkłady funkcji jedno- i wielowymiarowych zmiennych losowych. Funkcja charakterystyczna i inne transformaty. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych i ich rozkładów. Twierdzenia graniczne rachunku prawdopodobieństwa. Matematyczna teoria estymacji i teoria testowania hipotez, z uwzględnieniem metod nieparametrycznych. Elementy teorii łańcuchów Markowa. Przykłady procesów stochastycznych – proces Poissona, proces Wienera.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: swobodnego operowania rozkładami jedno- i wielowymiarowymi; stosowania twierdzeń granicznych rachunku prawdopodobieństwa, w szczególności w statystyce; modelowania stochastycznego w matematyce finansowej i aktuarialnej, naukach przyrodniczych, fizyce, chemii; przeprowadzania ekspertyz statystycznych.

Kształcenie w zakresie matematyki dyskretnej i matematycznych podstaw informatyki

Treści kształcenia: Elementy teorii grafów – spójność, skojarzenia, cykle Hamiltona, kolorowanie wierzchołków i krawędzi grafu, planarność. Zagadnienia ekstremalne teorii grafów – twierdzenia Turana i Ramseya. Elementy kombinatoryki – metody, przeliczania obiektów kombinatorycznych, twierdzenie Polya, ekstremalna teoria zbiorów, zbiory częściowo uporządkowane, metoda probabilistyczna Erdősa. Elementy teorii obliczeń – funkcje obliczalne, automaty i maszyny Turinga, języki formalne, złożoność obliczeniowa, logika obliczeniowa.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: modelowania problemów praktycznych w języku teorii grafów; rozróżniania i przeliczania obiektów kombinatorycznych; rozumienia matematycznych podstaw analizy algorytmów i procesów obliczeniowych; definiowania funkcji obliczalnych za pomocą rekursji i operatora minimum; definiowania składni języków programowania i języka naturalnego za pomocą minimalizacji automatów i wyznaczania wyrażeń regularnych; odróżniania problemów rozstrzygalnych od nierozstrzygalnych; wyznaczania górnego i dolnego ograniczenia złożoności problemu; posługiwania się logikami reprezentacji wiedzy w językach zapytań i odpowiedzi dla bazy danych; stosowania metod automatycznego dowodzenia twierdzeń oraz logicznego wspomagania weryfikacji i specyfikacji programów.

Kształcenie w zakresie metod numerycznych

Treści kształcenia: Metody przybliżonego rozwiązywania: układów równań liniowych i nieliniowych, macierzowego zagadnienia własnego i zadania optymalizacyjnego. Uwarunkowanie wybranych zadań numerycznych. Wybrane metody aproksymacji w przestrzeniach funkcyjnych. Elementy złożoności obliczeniowej. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. Całkowanie numeryczne. Współczesne narzędzia komputerowe i ich wykorzystywanie w praktycznych obliczeniach naukowych.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: badania własności numerycznych zadań matematycznych (teoretycznych i z zastosowań); badania własności algorytmów numerycznych i ich stosowania do rozwiązywania tych zadań; konstruowania nowych algorytmów, o dobrych własnościach numerycznych, do rozwiązywania niestandardowych problemów; praktycznego wykorzystywania wyrafinowanych algorytmów numerycznych i pakietów w matematyce i obliczeniach naukowych.

Kształcenie w zakresie zastosowań matematyki

Treści kształcenia: Dane eksperymentalne w modelowaniu matematycznym. Modelowanie przy pomocy równań różnicowych i różniczkowych. Metody optymalizacyjne w modelowaniu. Podstawy modelowania probabilistycznego i symulacji komputerowych. Modelowanie matematyczne w przyrodzie i technice.

Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: opisywania sytuacji z realnego świata w języku matematyki; przenoszenia matematycznych doświadczeń do niematematycznych kontekstów; stosowania wiedzy matematycznej przy tworzeniu i wykorzystywaniu modeli matematycznych; wykorzystywania komputerów w procesie modelowania; prowadzenia pracy zespołowej w trakcie modelowania; przekazywania wyników modelowania w formie pisemnej i ustnej niematematykom.

IV. INNE WYMAGANIA

Kształcenie powinno obejmować treści kierunkowe, z co najmniej dwóch zakresów kształcenia – łącznie w wymiarze nie mniejszym niż 90 godzin.

Co najmniej 50% godzin zajęć powinno być przeznaczone na seminaria, konwersatoria lub ćwiczenia wymagające od studenta samodzielnej pracy przy rozwiązywaniu zadań lub opracowywaniu zagadnień.

Za przygotowanie pracy magisterskiej i przygotowanie do egzaminu dyplomowego student otrzymuje 20 punktów ECTS.

ZALECENIA

Zaleca się wspomaganie nauczania treści matematycznych przez stosowanie narzędzi informatycznych, w szczególności korzystanie z pakietów matematycznych oraz prowadzenie zajęć z wykorzystaniem komputera (laboratorium statystyczne). W programach nauczania lub w poszczególnych zakresach treści kształcenia zaleca się umieszczanie elementów modelowania matematycznego lub przykładów praktycznych zastosowań teorii matematycznych.

Zaleca się, aby godziny przeznaczone na treści podstawowe, w zależności od przygotowania studentów, były wykorzystane do ugruntowania treści kształcenia objętych standardami dla studiów pierwszego stopnia lub do rozszerzenia tych treści.

Zaleca się, by studenci, którzy na studiach pierwszego stopnia zaliczyli treści wyszczególnione w grupie treści podstawowych, mogli w ich miejsce uczestniczyć w zajęciach obejmujących inne treści matematyczne.

Zaleca się, w przypadku zróżnicowanego przygotowania studentów podejmujących studia drugiego stopnia, by treści regulowane standardami służyły – w miarę możliwości – do uzupełniania poziomu wiedzy studentów.

lista kierunków:

Matematyka - studia II stopnia